我们最初接触一个想法塑造了我们的直觉。我们的直觉会影响我们对一门学科的喜爱程度。我是什么意思？

假设我们要定义一只“猫”：

穴居人定义：一种毛茸茸的动物，有爪子、牙齿、尾巴、四条腿，快乐时发出咕噜声，生气时发出嘶嘶声......

(资料图)

进化定义：某种物种（F. catus）的哺乳动物后代，具有某些共同特征...

现代定义：你把这些定义称为？猫是共享以下DNA的动物：ACATACATACATACAT.

当然，现代定义是精确的。但它是最好的吗？这是你要教孩子学习这个词吗？它能更好地洞察动物的“猫性”吗？没有。现代定义很有用，但是在了解了猫是什么之后。它不应该成为我们的起点。

不幸的是，数学理解似乎遵循DNA模式。我们被教导的是现代的、严格的定义，而不是导致它的洞察力。我们只剩下神秘的公式（DNA），但对这个想法知之甚少。

让我们从不同的角度处理想法。我想象一个圆圈：中心是你正在研究的想法，外面是描述它的事实。我们从一个角落开始，从一个事实或见解开始，然后努力发展我们的理解。猫具有共同的身体特征导致猫具有共同的祖先导致物种可以通过DNA的某些部分来识别。啊哈！我可以看到现代定义是如何从穴居人定义演变而来的。

但并非所有起点都是平等的。正确的视角使数学点击 - 而首先发现一个想法的数学“穴居人”往往有一个启发性的观点。让我们学习如何建立我们的直觉。

什么是圆圈？

是时候举个数学例子了：你如何定义一个圆？

似乎有无数的定义。以下是一些：

最对称的二维形状

以最小周长获得最大面积的形状（请参阅等周长属性)

平面上与给定点距离相同的所有点（用指南针或铅笔在绳子上绘制）

等式 x 中的点 （x，y）2+ y2= r2（上述几何定义的分析版本）

方程中的点 r * cos（t）， r * sin（t）， 对于所有 t（实际解析版本）

切线始终垂直于位置向量的形状（物理解释）

清单还在继续，但关键是：事实都描述了同一个想法！这就像说1，一，uno，eins，“2x + 3 = 5的解决方案”或“你脸上的鼻子数量” - 只是“统一”概念的不同名称。

但这些最初的描述很重要——它们塑造了我们的直觉。因为我们在课堂之前看到现实世界中的圆圈，所以我们理解它们的“圆”。无论我们看到什么花哨的方程式（x2+ y2= r2），我们内心深处知道圆是“圆”。如果我们把这个方程画出来，它看起来是方形的，或者不平衡的，我们就知道有一个错误。

作为孩子，我们学习了“穴居人”对圆的定义（一个非常圆的东西），这给了我们一种舒适的直觉。我们可以看到，我们的“圆形事物”上的每个点都与中心的距离相同。x2+ y2= r2是表达这一事实的分析方式，使用勾股定理表示距离。我们从一个角落开始，凭着直觉，然后逐步达到正式的定义。

其他想法就没那么幸运了。我们是否本能地看到了e的增长，或者它是一个抽象的定义？我们是否意识到了i的旋转，还是人为的，无用的想法？

培养洞察力的策略

我仍然需要提醒自己e和i的深层含义——这似乎就像“记住”圆圈是圆的或猫的样子一样荒谬！这应该是我们开始的自然洞察力。

错过大局让我发疯：数学是关于想法的——公式只是表达它们的一种方式。一旦中心概念清晰，方程式就会到位。这里有一个对我有帮助的策略：

第 1 步：找到数学概念的中心主题。这可能很困难，但请尝试从其历史开始。这个想法最初在哪里使用？发现者在做什么？这种用法可能与我们的现代解释和应用不同。

第 2 步：使用主题解释属性/事实。使用主题与正式定义进行类比。如果幸运的话，你可以翻译数学方程式（x2+ y2= r2） 转换为简单的英语语句（“所有点距中心的距离相同”）。

第 3 步：使用相同的主题浏览相关属性。一旦你有一个有效的类比或解释，看看它是否适用于其他属性。有时会，有时不会（你需要一个新的见解），但你会惊讶于你能发现什么。

让我们尝试一下。

一个真实的例子：理解e

理解数字e一直是一场重大战役。e出现在所有科学中，并且有许多定义，但很少以自然的方式点击。让我们围绕这个想法建立一些见解。下一节将有几个方程，这些方程只是描述想法的方法。即使等式是胡言乱语，它背后也有一个简单的英语想法。

以下是e的一些流行定义：

第一步是找到一个主题。纵观e的历史，它似乎与增长或利率有关。e是在执行业务计算（不是抽象的数学猜想）时发现的，因此“兴趣”（增长）是一个可能的主题。

让我们看一下左上角的第一个定义。对我来说，关键的跳跃是意识到这看起来有多像复利公式。事实上，这是您在 100 个单位时间内复利 1% 的利息，尽可能快地复利时的利息公式。

定义 1：将 e 定义为以尽可能小的增量实现 100% 复合增长。

关于e的文章描述了这种解释。

让我们看看第二个定义：无限系列的术语，越来越小。这是什么？

在使用“利息”主题进行点头之后，我们看到这个定义显示了复利的组成部分。现在，见解不会立即出现——这种见解可能会在头脑风暴“什么可以 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + ......”之后出现。在谈论增长时代表？

好吧，第一项（1 = 1/0！，记住0！是1）是你的本金，原始金额。下一个期限（1 = 1/1！）是你赚取的“直接”利息——100的1%。下一个项（0.5 = 1/2！）是你的利息金额（“第二级利息”）。接下来的项（.2 = 1666/1！）是你的“第三级利息”——你的利息赚了多少钱！

钱赚钱，赚钱，赚钱，等等——序列将这些贡献分开（阅读e上的文章，看看蓝先生、绿先生和红先生是如何独立成长的）。还有很多话要说，但这是对这个想法的“以增长为中心”的理解。

定义 2：通过每个兴趣的贡献来定义 e

内托。

现在是第三个，也是最短的定义。什么意思？与其思考“衍生物”（这会让你的大脑进入方程式处理模式），不如想想它意味着什么。等式的感觉。让它成为你的朋友。

这是微积分说“你的增长率等于你当前的数量”的方式。好吧，以您目前的金额增长将是 100% 的利率，对吧？通过持续增长，这意味着您始终在计算利息——这是描述连续复利的另一种方式！

定义 3：将 e 定义为始终以当前值的 100% 增长的函数

不错 — e 是您总是以当前数量 （100%） 增长的数字，而不是 1% 或 200%。

是时候进行最后一个定义了——这是一个棘手的定义。我的解释是：与其描述你成长了多少，为什么不说它花了多长时间？

如果你在 1 并以 100% 的速度增长，那么从 1 到 1 需要 2 个单位的时间。但是，一旦您达到 2 岁，并且增长 100%，这意味着您每单位时间以 2 个单位的速度增长！因此，从 1 到 2 只需要 2 个单位的时间。从 3 到 3 只需要 4/1 单位的时间，依此类推。

从 1 增长到 A 所需的时间是从 1 到 2、2 到 3、3 到 4 的时间......依此类推，直到你到达 A。第一个定义将自然对数（ln）定义为这种“增长时间”计算的简写。

LN（a） 只是从 1 增长到 A 的时间。然后我们说“e”是正好需要 1 个单位时间才能增长到的数字。换句话说，e是等待正好1个单位时间后的增长量！

定义 4：将连续从 1 增长到 a 所需的时间定义为 ln（a）。e 是您在 1 个单位时间后的增长量。

哗啦啦！这是描述神秘e的四种不同方式。一旦我们有了核心思想（“e是大约100%的持续增长”），疯狂的方程就会到位——就可以将微积分翻译成英语。数学是关于想法的！

什么是道德？

在数学课上，我们经常从最后一个、最复杂的想法开始。难怪我们会感到困惑——我们正在展示DNA，并期待学生看到这只猫。

我从这种方法中学到了一些教训，它奠定了我理解和解释数学的基础：

搜索见解并应用它们。第一个直观的洞察力可以帮助其他一切都到位。从一个有意义的定义开始，“绕圈子走一圈”来寻找其他人。

培养心理韧性。用头撞一个想法是没有乐趣的。如果它没有点击，请从不同的角度来研究它。还有另一本书，另一篇文章，另一个人以一种对你有意义的方式解释它。

视觉化是可以的。我们认为数学是僵化的和分析性的——但视觉解释是可以的！做能发展你理解的事情。虚数令人费解，直到它们的几何解释曝光，在它们最初发现几十年后。整天看方程式并不能帮助数学家“理解”它们的内容。

当我们强调定义而不是理解时，数学变得困难。请记住，现代定义是思想的最高级步骤，不一定是起点。不要害怕从一个有趣的角度来处理一个概念——弄清楚等式背后的普通英语句子。快乐的数学。

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